Se z1, ..., zk são números tais que Re(z_j) > 0 e Re(z1 ... zj) > 0 para 1 <= j <= k, então log(z1 ... zk) = log(z1) + ... + log(zk). Aqui, log é o ramo principal do logaritmo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está dizendo. Temos uma lista de números complexos onde a parte real de cada é positiva, ou seja, . Além disso, o produto dos primeiros desses números também tem parte real positiva para todo de 1 até .
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre logaritmos de números complexos, mais especificamente o ramo principal do logaritmo complexo. Precisamos entender como o logaritmo de um produto se relaciona com a soma dos logaritmos individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para números reais positivos, o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos:
Mas aqui estamos trabalhando com números complexos, então precisamos cuidar do ramo do logaritmo para que essa propriedade também valha.

Passo 3

O ramo principal do logaritmo complexo, denotado por , é definido como:
onde é o argumento de escolhido para estar no intervalo . Essa escolha do ramo principal garante que a função logaritmo seja bem definida e contínua nesse intervalo.

Passo 4

Agora, consideramos o produto . Queremos mostrar que:
Para isso, vamos analisar o argumento do produto. Sabemos que:
Mas precisamos garantir que a soma dos argumentos também esteja dentro do intervalo para que a igualdade do logaritmo principal funcione.

Passo 5

As condições dadas na questão, e , implicam que o argumento de cada está entre e . Isso garante que a soma dos argumentos não exceda nem seja menor que , mantendo tudo dentro do ramo principal.

Passo 6

Com isso, podemos afirmar que:
Portanto, sob as condições dadas, a propriedade que conhecemos dos logaritmos reais se estende aos logaritmos complexos no ramo principal.

Resposta

Assim, mostramos passo a passo que, se e para todo , então:

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