Se
são números tais que
e
para
, então
. Aqui,
é o ramo principal do logaritmo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está dizendo. Temos uma lista de números complexos
onde a parte real de cada
é positiva, ou seja,
. Além disso, o produto dos primeiros
desses números também tem parte real positiva para todo
de 1 até
.
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre logaritmos de números complexos, mais especificamente o ramo principal do logaritmo complexo. Precisamos entender como o logaritmo de um produto se relaciona com a soma dos logaritmos individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para números reais positivos, o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos:
Mas aqui estamos trabalhando com números complexos, então precisamos cuidar do ramo do logaritmo para que essa propriedade também valha.
Passo 3
O ramo principal do logaritmo complexo, denotado por
, é definido como:
onde
é o argumento de
escolhido para estar no intervalo
. Essa escolha do ramo principal garante que a função logaritmo seja bem definida e contínua nesse intervalo.
Passo 4
Agora, consideramos o produto
. Queremos mostrar que:
Para isso, vamos analisar o argumento do produto. Sabemos que:
Mas precisamos garantir que a soma dos argumentos também esteja dentro do intervalo
para que a igualdade do logaritmo principal funcione.
Passo 5
As condições dadas na questão,
e
, implicam que o argumento de cada
está entre
e
. Isso garante que a soma dos argumentos não exceda
nem seja menor que
, mantendo tudo dentro do ramo principal.
Passo 6
Com isso, podemos afirmar que:
Portanto, sob as condições dadas, a propriedade que conhecemos dos logaritmos reais se estende aos logaritmos complexos no ramo principal.
Resposta
Assim, mostramos passo a passo que, se
e
para todo
, então:
Exercícios relacionados
Ponha
. Calcule sua derivada. Dê essa função na forma
. Determine os pontos
para os quais tanh
é real.
Determine
.
Derive a função
.
Calcule as integrais definidas
(j)
(j)