Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(b) Retângulo
.
(b) Retângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a imagem de um retângulo específico sob a transformação exponencial. Isso faz parte do conteúdo de funções complexas, especificamente a transformação exponencial no plano complexo. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial age sobre números complexos e como isso transforma um conjunto de pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a transformação exponencial. Se temos um número complexo
, a exponencial de
é dada por:
Isso significa que a função exponencial mapeia o número complexo
para outro número complexo cujo módulo é
e o argumento é
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o retângulo dado:
Aqui,
varia de 0 a
e
varia de
a
. Esses valores vão nos ajudar a determinar os limites da imagem após a transformação.
Passo 4
Vamos aplicar a transformação exponencial a cada ponto do retângulo. Usando a fórmula da exponencial complexa:
Isso significa que para cada
e
dentro dos intervalos dados, obtemos um novo ponto no plano complexo cuja distância da origem é
e o ângulo com o eixo real é
.
Passo 5
Vamos determinar os limites do módulo e do argumento na imagem:
- O módulo
varia de até . - O argumento
varia de a .
Passo 6
Com isso, a imagem será uma região no plano complexo onde:
- O módulo está entre 1 e 2.
- O argumento está entre
e .
Isso descreve um setor do anel (ou anel setorial) com raio interno 1, raio externo 2, e com ângulos variando de
a
.
Resposta
A imagem do retângulo dado sob a transformação exponencial é o conjunto de todos os números complexos
tais que
e o argumento de
está entre
e
. Em outras palavras, é um setor de anel com módulo entre 1 e 2 e ângulo entre
e
.
Exercícios relacionados
Expresse as seguintes funções na forma
.
(b)
(b)
Determine a derivada
das seguintes funções:
(b)
(b)
Dados
e a correspondência entre
e
dada por
e
, faça um diagrama e diga se
é uma função de
em
.
Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação
.
(a) Circunferência .
(a) Circunferência