Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(b) Retângulo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a imagem de um retângulo específico sob a transformação exponencial. Isso faz parte do conteúdo de funções complexas, especificamente a transformação exponencial no plano complexo. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial age sobre números complexos e como isso transforma um conjunto de pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a transformação exponencial. Se temos um número complexo , a exponencial de é dada por:
Isso significa que a função exponencial mapeia o número complexo para outro número complexo cujo módulo é e o argumento é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o retângulo dado:
Aqui, varia de 0 a e varia de a . Esses valores vão nos ajudar a determinar os limites da imagem após a transformação.

Passo 4

Vamos aplicar a transformação exponencial a cada ponto do retângulo. Usando a fórmula da exponencial complexa:
Isso significa que para cada e dentro dos intervalos dados, obtemos um novo ponto no plano complexo cuja distância da origem é e o ângulo com o eixo real é .

Passo 5

Vamos determinar os limites do módulo e do argumento na imagem:
  • O módulo varia de até .
  • O argumento varia de a .

Passo 6

Com isso, a imagem será uma região no plano complexo onde:
  • O módulo está entre 1 e 2.
  • O argumento está entre e .
Isso descreve um setor do anel (ou anel setorial) com raio interno 1, raio externo 2, e com ângulos variando de a .

Resposta

A imagem do retângulo dado sob a transformação exponencial é o conjunto de todos os números complexos tais que e o argumento de está entre e . Em outras palavras, é um setor de anel com módulo entre 1 e 2 e ângulo entre e .

Exercícios relacionados

Expresse as seguintes funções na forma .
(b)
Determine a derivada das seguintes funções:
(b)
Dados e a correspondência entre e dada por e , faça um diagrama e diga se é uma função de em .
Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação .
(a) Circunferência .