Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação
.
(b) Anel
.
(b) Anel
Passo 1
Então, a gente vai resolver um problema de transformação complexa. A questão pede pra gente achar a imagem de um anel, aquele conjunto de números complexos
que satisfazem
, sob a transformação
. Basicamente, vamos ver como esse anel se transforma quando aplicamos o logaritmo complexo a cada ponto dele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação
. No campo complexo, o logaritmo de
pode ser escrito como:
Aqui,
é o logaritmo natural do módulo de
, e
é o argumento de
, ou seja, o ângulo que o número complexo faz com o eixo real.
Passo 3
Agora, vamos analisar o anel dado:
. Isso significa que o módulo de
varia de 3 a 5. Quando aplicamos o logaritmo, a parte real de
será
, então:
Isso nos dá os limites para a parte real de
.
Passo 4
Quanto à parte imaginária de
,
, ela pode variar de
a
(considerando o intervalo principal). Então:
Isso significa que a parte imaginária de
está restrita entre
e
.
Resposta
A imagem do anel
sob a transformação
é o conjunto de números complexos
onde:
Ou seja, a imagem é uma faixa horizontal no plano
, com a parte real entre
e
e a parte imaginária variando de
a
.