Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação w = Ln(z).
(b) Anel 3 <= |z| <= 5.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um problema de transformação complexa. A questão pede pra gente achar a imagem de um anel, aquele conjunto de números complexos que satisfazem , sob a transformação . Basicamente, vamos ver como esse anel se transforma quando aplicamos o logaritmo complexo a cada ponto dele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação . No campo complexo, o logaritmo de pode ser escrito como:
Aqui, é o logaritmo natural do módulo de , e é o argumento de , ou seja, o ângulo que o número complexo faz com o eixo real.

Passo 3

Agora, vamos analisar o anel dado: . Isso significa que o módulo de varia de 3 a 5. Quando aplicamos o logaritmo, a parte real de será , então:
Isso nos dá os limites para a parte real de .

Passo 4

Quanto à parte imaginária de , , ela pode variar de a (considerando o intervalo principal). Então:
Isso significa que a parte imaginária de está restrita entre e .

Resposta

A imagem do anel sob a transformação é o conjunto de números complexos onde:
Ou seja, a imagem é uma faixa horizontal no plano , com a parte real entre e e a parte imaginária variando de a .

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