Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma .
(a)

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para expressar o valor da função na forma . Vamos trabalhar com funções trigonométricas para números imaginários, e para isso, vamos precisar usar algumas propriedades do seno para números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno de um número complexo pode ser escrito usando a fórmula:
Aqui, é um número complexo. No nosso caso, .

Passo 3

Substituindo por na fórmula, temos:
Simplificando os expoentes:
Porque .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão:
Reconhecemos que é igual a , onde é a função seno hiperbólico.

Passo 5

Substituindo na equação:
E como sabemos que , ficamos com:

Resposta

Portanto, a função expressa na forma é:

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Seja um número complexo fixado, com . Observe que é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante para que tenha somente um único valor?
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma .
(d)