Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para expressar o valor da função
na forma
. Vamos trabalhar com funções trigonométricas para números imaginários, e para isso, vamos precisar usar algumas propriedades do seno para números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o seno de um número complexo pode ser escrito usando a fórmula:
Aqui,
é um número complexo. No nosso caso,
.
Passo 3
Substituindo
por
na fórmula, temos:
Simplificando os expoentes:
Porque
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a expressão:
Reconhecemos que
é igual a
, onde
é a função seno hiperbólico.
Passo 5
Substituindo na equação:
E como sabemos que
, ficamos com:
Resposta
Portanto, a função
expressa na forma
é:
Exercícios relacionados
Seja
um número complexo fixado, com
. Observe que
é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante
para que
tenha somente um único valor?
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
(d)
(d)