Seja um número complexo fixado, com . Observe que é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante para que tenha somente um único valor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre números complexos, especificamente sobre a expressão , onde . Queremos descobrir quais condições extras precisamos colocar em para que o módulo de , ou seja, , tenha apenas um único valor. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar números complexos a outros números complexos e como o módulo se comporta nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento. No caso de , temos .

Passo 3

Agora, queremos calcular . Usando a forma polar de , temos:

Passo 4

Vamos multiplicar os termos no expoente:
Sabemos que , então:

Passo 5

Assim, fica:
O módulo de um número complexo na forma polar é simplesmente . Portanto:

Passo 6

Para que tenha apenas um único valor, precisamos garantir que a parte imaginária de , que é , seja tal que não dependa de múltiplos valores ou ramos da função exponencial complexa. Isso acontece quando , eliminando a parte imaginária de .

Passo 7

Portanto, a restrição adicional que devemos impor é que . Assim, , onde é um número real.

Resposta

Para que tenha somente um único valor, a constante deve ser um número real, ou seja, a parte imaginária de deve ser igual a zero.

Exercícios relacionados

Determine todos os valores da potência complexa dada.
(a)
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma .
(a)
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma .
(d)