Seja
um número complexo fixado, com
. Observe que
é multivalente. Quais restrições adicionais devem ser impostas à constante
para que
tenha somente um único valor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre números complexos, especificamente sobre a expressão
, onde
. Queremos descobrir quais condições extras precisamos colocar em
para que o módulo de
, ou seja,
, tenha apenas um único valor. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar números complexos a outros números complexos e como o módulo se comporta nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar:
, onde
é o módulo e
é o argumento. No caso de
, temos
.
Passo 3
Agora, queremos calcular
. Usando a forma polar de
, temos:
Passo 4
Vamos multiplicar os termos no expoente:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Assim,
fica:
O módulo de um número complexo na forma polar
é simplesmente
. Portanto:
Passo 6
Para que
tenha apenas um único valor, precisamos garantir que a parte imaginária de
, que é
, seja tal que
não dependa de múltiplos valores ou ramos da função exponencial complexa. Isso acontece quando
, eliminando a parte imaginária de
.
Passo 7
Portanto, a restrição adicional que devemos impor é que
. Assim,
, onde
é um número real.
Resposta
Para que
tenha somente um único valor, a constante
deve ser um número real, ou seja, a parte imaginária
de
deve ser igual a zero.
Exercícios relacionados
Determine todos os valores da potência complexa dada.
(a)
(a)
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
(a)
(a)
Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
(d)
(d)