Determine a imagem do domínio interior a um retângulo
pela exponencial.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de análise complexa onde precisamos encontrar a imagem do interior de um retângulo definido por
através da função exponencial. Para isso, vamos utilizar conceitos da função exponencial no plano complexo e entender como ela mapeia regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, lembramos que qualquer número complexo
pode ser escrito na forma
, onde
e
. A função exponencial para números complexos é dada por:
Isso significa que, ao aplicar a função exponencial a
, a parte real
afeta o módulo do número complexo resultante, enquanto a parte imaginária
afeta o ângulo no plano complexo.
Passo 3
Agora, vamos analisar o retângulo dado:
e
. Aplicando a função exponencial, o módulo do resultado será
, e o argumento será
. Portanto, a imagem desse retângulo será uma região no plano complexo onde o módulo varia de
a
e o ângulo varia de
a
.
Passo 4
Visualizando isso, temos que a imagem será uma “anelação” ou uma faixa circular com raio variando de
a
, e abrangendo todos os ângulos de
a
. Em outras palavras, a imagem é o conjunto de todos os números complexos
tal que:
Resposta
A imagem do domínio interior ao retângulo
pela função exponencial é o conjunto de todos os números complexos
tais que:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas
(f)
(f)
Usando o ramo principal de
calcule
.
Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
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(g)
(g)