Determine a imagem do domínio interior a um retângulo {z: a <} Re(z) < b, 0 < Im(z) < pi pela exponencial.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de análise complexa onde precisamos encontrar a imagem do interior de um retângulo definido por através da função exponencial. Para isso, vamos utilizar conceitos da função exponencial no plano complexo e entender como ela mapeia regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, lembramos que qualquer número complexo z pode ser escrito na forma , onde e . A função exponencial para números complexos é dada por:
Isso significa que, ao aplicar a função exponencial a z, a parte real x afeta o módulo do número complexo resultante, enquanto a parte imaginária y afeta o ângulo no plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o retângulo dado: e . Aplicando a função exponencial, o módulo do resultado será , e o argumento será . Portanto, a imagem desse retângulo será uma região no plano complexo onde o módulo varia de e^a a e o ângulo varia de 0 a pi.

Passo 4

Visualizando isso, temos que a imagem será uma “anelação” ou uma faixa circular com raio variando de e^a a , e abrangendo todos os ângulos de 0 a pi. Em outras palavras, a imagem é o conjunto de todos os números complexos w tal que:

Resposta

A imagem do domínio interior ao retângulo pela função exponencial é o conjunto de todos os números complexos w tais que:

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Usando o ramo principal de z^lambda calcule 2^raiz(2), 12^raiz(2), (5*i)^(1+i), 1^i, 1^(-i).
Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
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(iv) f(z) = e^y (cos x + i sen x)
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