Usando o ramo principal de z^lambda calcule 2^raiz(2), 12^raiz(2), (5*i)^(1+i), 1^i, 1^(-i).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular , , , e usando o ramo principal de . Para isso, vamos precisar entender como elevar números reais e complexos a potências, utilizando a definição de potências no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral para calcular no plano complexo usando o ramo principal:
Aqui, representa o logaritmo complexo de no ramo principal, que é dado por:
onde é o argumento principal de , ou seja, o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor que representa no plano complexo, limitado a .

Passo 3

Vamos calcular :
Como 2 é um número real positivo, podemos simplificar diretamente:

Passo 4

Agora, calculamos :
Similarmente, 12 é um número real positivo:

Passo 5

Vamos calcular :
Primeiro, representamos no formato polar:
Aplicando a fórmula:
Expandindo o produto:
Separando parte real e imaginária:
Calculando os valores numéricos:
Calculando e :
Portanto:

Passo 6

Vamos calcular :
Representamos 1 no formato polar:
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Por fim, calculamos :
Usando a mesma representação de 1:

Resposta

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