Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
(i) f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)
(ii) f(z) = e^(-y) (cos x + i sen x)
(iii) f(z) = e^(-x) (cos y - i sen y)
(iv) f(z) = e^y (cos x + i sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se as funções dadas cumprem as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições são fundamentais na análise de funções de variável complexa e nos ajudam a determinar se uma função é diferenciável no sentido complexo. Para isso, vamos precisar identificar as partes real e imaginária de cada função e calcular suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições de Cauchy-Riemann. Se temos uma função , onde e são funções reais de e , as condições de Cauchy-Riemann são:
Se essas igualdades forem verdadeiras em um ponto, a função é diferenciável naquele ponto no sentido complexo.

Passo 3

Vamos agora aplicar isso à função (i):
Aqui, identificamos:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Agora, vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann:

Passo 5

Agora, vamos verificar a função (ii):
Aqui, identificamos:

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 7

Verificamos as condições de Cauchy-Riemann:

Passo 8

Vamos para a função (iii):
Identificamos:

Passo 9

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 10

Verificamos as condições de Cauchy-Riemann:

Passo 11

Finalmente, vamos analisar a função (iv):
Identificamos:

Passo 12

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 13

Verificamos as condições de Cauchy-Riemann:

Resposta

A função não cumpre as condições de Cauchy-Riemann, exceto nos pontos onde e , o que apenas ocorre em pontos específicos.

Curiosidade

As condições de Cauchy-Riemann são essenciais para uma função ser holomorfa, ou seja, diferenciável em todo o seu domínio no sentido complexo. Quando uma função as satisfaz, ela tem propriedades muito legais, como ser infinitamente derivável e igual a sua série de Taylor!

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