Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se as funções dadas cumprem as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições são fundamentais na análise de funções de variável complexa e nos ajudam a determinar se uma função é diferenciável no sentido complexo. Para isso, vamos precisar identificar as partes real e imaginária de cada função e calcular suas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as condições de Cauchy-Riemann. Se temos uma função
, onde
e
são funções reais de
e
, as condições de Cauchy-Riemann são:
Se essas igualdades forem verdadeiras em um ponto, a função é diferenciável naquele ponto no sentido complexo.
Passo 3
Vamos agora aplicar isso à função (i):
Aqui, identificamos:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann:
Passo 5
Agora, vamos verificar a função (ii):
Aqui, identificamos:
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 7
Verificamos as condições de Cauchy-Riemann:
Passo 8
Vamos para a função (iii):
Identificamos:
Passo 9
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 10
Verificamos as condições de Cauchy-Riemann:
Passo 11
Finalmente, vamos analisar a função (iv):
Identificamos:
Passo 12
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 13
Verificamos as condições de Cauchy-Riemann:
Resposta
A função não cumpre as condições de Cauchy-Riemann, exceto nos pontos onde e
, o que apenas ocorre em pontos específicos.
Curiosidade
As condições de Cauchy-Riemann são essenciais para uma função ser holomorfa, ou seja, diferenciável em todo o seu domínio no sentido complexo. Quando uma função as satisfaz, ela tem propriedades muito legais, como ser infinitamente derivável e igual a sua série de Taylor!
Exercícios relacionados
Determine a imagem do domínio interior a um retângulo
pela exponencial.
Calcule as integrais indefinidas
(f)
(f)
Calcule as integrais indefinidas
(g)
(g)
Em quais pontos a função
é derivável?