Determine o limite caso exista ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x y^2x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Queremos calcular o limite da função x y^2x^2-y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro do estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, a gente vai verificar o que acontece quando a gente se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo na função:
x (0)^2x^2-0^2 = 0x^2 = 0
Então, ao longo de y = 0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos checar o limite ao longo da linha y = x. Substituindo y = x na função:
x (x)^2x^2-x^2 = x^30
Aqui, a expressão fica indefinida porque estamos dividindo por zero. Isso indica que o limite não existe por esse caminho.

Passo 4

Como obtivemos resultados diferentes dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de (0,0) (em um caso o limite é 0 e em outro não existe), isso mostra que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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