Determine a imagem das função

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a imagem da função . Aqui, estamos lidando com funções de várias variáveis e precisamos entender o que é a “imagem” de uma função. A imagem de uma função é basicamente o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode produzir quando substituímos todos os valores possíveis das variáveis de entrada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do expoente: . Sabemos que e são sempre maiores ou iguais a zero, porque o quadrado de qualquer número real é positivo ou zero. Portanto, , e assim .

Passo 3

Agora, consideramos a função exponencial , onde é um número real. A função exponencial é sempre positiva, ou seja, para todo . Além disso, à medida que se torna mais negativo, se aproxima de zero, mas nunca chega a ser zero.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função , vemos que, como , então estará sempre entre 0 e 1. Quando e , temos . Conforme e se afastam de zero, aumenta, tornando mais negativo, e assim se aproxima de 0.

Resposta

A imagem da função é o intervalo .

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