Determine a imagem das função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a imagem da função
. Aqui, estamos lidando com funções de várias variáveis e precisamos entender o que é a “imagem” de uma função. A imagem de uma função é basicamente o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode produzir quando substituímos todos os valores possíveis das variáveis de entrada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do expoente:
. Sabemos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero, porque o quadrado de qualquer número real é positivo ou zero. Portanto,
, e assim
.
Passo 3
Agora, consideramos a função exponencial
, onde
é um número real. A função exponencial é sempre positiva, ou seja,
para todo
. Além disso, à medida que
se torna mais negativo,
se aproxima de zero, mas nunca chega a ser zero.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função
, vemos que, como
, então
estará sempre entre 0 e 1. Quando
e
, temos
. Conforme
e
se afastam de zero,
aumenta, tornando
mais negativo, e assim
se aproxima de 0.
Resposta
A imagem da função
é o intervalo
.
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