Determine a imagem das função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a imagem da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções matemáticas, especificamente pensando em domínio e imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender os valores que a expressão dentro do logaritmo pode assumir, já que o logaritmo natural só aceita números positivos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que está dentro do logaritmo:
. Para o logaritmo natural estar definido, o argumento precisa ser maior que zero. Então, temos:
Passo 3
Vamos resolver essa inequação para encontrar as possíveis combinações de
,
e
. Podemos reorganizar a inequação:
Passo 4
Dividindo todos os termos por 16 para simplificar:
Simplificando:
Passo 5
Essa inequação representa uma elipsoide no espaço tridimensional. Todos os pontos
que satisfazem essa condição estão dentro dessa elipsoide. Agora, para determinar a imagem da função
, precisamos saber quais valores
pode assumir.
Passo 6
Sabemos que o logaritmo natural
está definido para
. Então, o menor valor que
pode ter é quase zero (mas maior que zero), e o máximo valor ocorre quando
:
Passo 7
À medida que
aumenta,
diminui, fazendo com que
diminua também. O valor mínimo de
tende a
quando
se aproxima de zero.
Resposta
A imagem da função
é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a
. Em notação matemática:
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esboce o gráfico
Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
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