Determine a imagem das função

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a imagem da função . Isso está relacionado ao estudo de funções matemáticas, especificamente pensando em domínio e imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender os valores que a expressão dentro do logaritmo pode assumir, já que o logaritmo natural só aceita números positivos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro do logaritmo: . Para o logaritmo natural estar definido, o argumento precisa ser maior que zero. Então, temos:

Passo 3

Vamos resolver essa inequação para encontrar as possíveis combinações de , e . Podemos reorganizar a inequação:

Passo 4

Dividindo todos os termos por 16 para simplificar:
Simplificando:

Passo 5

Essa inequação representa uma elipsoide no espaço tridimensional. Todos os pontos que satisfazem essa condição estão dentro dessa elipsoide. Agora, para determinar a imagem da função , precisamos saber quais valores pode assumir.

Passo 6

Sabemos que o logaritmo natural está definido para . Então, o menor valor que pode ter é quase zero (mas maior que zero), e o máximo valor ocorre quando :

Passo 7

À medida que aumenta, diminui, fazendo com que diminua também. O valor mínimo de tende a quando se aproxima de zero.

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a . Em notação matemática:

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