Determine a imagem das funções definidas em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: “Determine a imagem da função definida em
.
.” Aqui, a gente precisa encontrar todos os valores possíveis de
quando
varia em todos os números reais. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e analisar o seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral
. No nosso caso, temos
,
e
. Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como
é positivo, a parábola abre para cima, o que significa que ela tem um ponto mínimo.
Passo 3
Para encontrar a imagem da função, precisamos determinar o valor mínimo de
. Esse valor mínimo ocorre no vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice é
. Vamos calcular:
Passo 4
Agora que temos
, vamos encontrar o valor correspondente de
substituindo na função original:
Então, o valor mínimo de
é
.
Passo 5
Como a parábola abre para cima e o valor mínimo de
é
, isso significa que
pode ser qualquer número real maior ou igual a
. Não há limite superior para
porque a parábola se estende infinitamente para cima.
Resposta
A imagem da função
definida em
é todos os números reais maiores ou iguais a
. Em notação matemática:
Exercícios relacionados
Determine o valor de
na função real
para que o valor máximo seja 2.
Para a equação
de raízes
e
usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Estude o sinal das funções definidas em
.
Resolva as inequações em
: