Determine a imagem das funções definidas em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: “Determine a imagem da função definida em . .” Aqui, a gente precisa encontrar todos os valores possíveis de quando varia em todos os números reais. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e analisar o seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral . No nosso caso, temos , e . Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como é positivo, a parábola abre para cima, o que significa que ela tem um ponto mínimo.

Passo 3

Para encontrar a imagem da função, precisamos determinar o valor mínimo de . Esse valor mínimo ocorre no vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice é . Vamos calcular:

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar o valor correspondente de substituindo na função original:
Então, o valor mínimo de é .

Passo 5

Como a parábola abre para cima e o valor mínimo de é , isso significa que pode ser qualquer número real maior ou igual a . Não há limite superior para porque a parábola se estende infinitamente para cima.

Resposta

A imagem da função definida em é todos os números reais maiores ou iguais a . Em notação matemática:

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