Para a equação de raízes e usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação quadrática com raízes e . O que a gente precisa encontrar é . Para isso, vamos usar as fórmulas que relacionam a soma e o produto das raízes de uma equação quadrática. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas para a soma e o produto das raízes de uma equação do tipo :
  • Soma das raízes:
  • Produto das raízes:
No nosso caso, a equação é . Vamos identificar os coeficientes:

Passo 3

Vamos calcular a soma das raízes usando a fórmula:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto das raízes:
Então, .

Passo 5

Queremos encontrar . Sabemos que:
Essa é uma identidade algébrica que ajuda a simplificar a soma dos cubos das raízes.

Passo 6

Vamos substituir os valores que já calculamos:
Então:

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, vamos somar as frações. Para isso, precisamos de denominadores iguais. Convertendo para oitavos:
Então:

Resposta

Portanto, .

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