Determine o valor de na função real para que o valor máximo seja 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática do tipo e precisa descobrir o valor de para que o valor máximo dessa função seja igual a 2. Então, vamos usar os conceitos de funções quadráticas e como encontrar o ponto máximo delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral . No nosso caso, , e .

Passo 3

Como o coeficiente de é negativo ( ), sabemos que o gráfico da função é uma parábola voltada para baixo, o que significa que ela tem um ponto máximo.

Passo 4

O ponto máximo da parábola ocorre no vértice. A coordenada do vértice pode ser encontrada pela fórmula . Vamos calcular isso:

Passo 5

Agora que temos , vamos encontrar o valor máximo da função substituindo na função original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculemos cada termo separadamente:
  1. permanece o mesmo.

Passo 7

Agora, juntando todos os termos:

Passo 8

Sabemos que esse valor máximo deve ser igual a 2. Então, temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 9

Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Expandindo :
Simplificando os termos:

Passo 10

Subtraindo 6 de ambos os lados para igualar a equação a zero:

Passo 11

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Calculando o discriminante ( ):

Passo 12

Agora, substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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