Determine o valor de
na função real
para que o valor máximo seja 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática do tipo
e precisa descobrir o valor de
para que o valor máximo dessa função seja igual a 2. Então, vamos usar os conceitos de funções quadráticas e como encontrar o ponto máximo delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Como o coeficiente de
é negativo (
), sabemos que o gráfico da função é uma parábola voltada para baixo, o que significa que ela tem um ponto máximo.
Passo 4
O ponto máximo da parábola ocorre no vértice. A coordenada
do vértice pode ser encontrada pela fórmula
. Vamos calcular isso:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar o valor máximo da função substituindo
na função original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculemos cada termo separadamente:
-
-
-
permanece o mesmo.
Passo 7
Agora, juntando todos os termos:
Passo 8
Sabemos que esse valor máximo deve ser igual a 2. Então, temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 9
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Expandindo
:
Simplificando os termos:
Passo 10
Subtraindo 6 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 11
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Passo 12
Agora, substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.
Exercícios relacionados
Para a equação
de raízes
e
usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Determine os valores de
para que a equação
tenha duas raízes reais iguais.
Determine a imagem das funções definidas em
.
Estude o sinal das funções definidas em
.