Determine a imagem das funções definidas em R. y = -x^2 + 4

Passo 1

Beleza, temos a função , definida para todos os números reais ( R). Nosso objetivo aqui é descobrir quais valores o y pode assumir, ou seja, determinar a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções quadráticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral . No nosso caso, , e . O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente de x^2 ( a) é negativo, a parábola abre para baixo. Isso significa que ela tem um ponto mais alto, chamado vértice, que representa o valor máximo que o y pode atingir.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas do vértice, usamos a fórmula para a coordenada x do vértice:
Substituindo os valores:
Agora, substituímos na função original para encontrar :
Então, o vértice está no ponto .

Passo 4

Como a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto, o valor máximo que y atinge é . À medida que x se afastar de 0, positivo ou negativo, os valores de y vão diminuindo sem limite inferior. Ou seja, y pode ser qualquer número menor ou igual a .

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números reais y tais que

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