Determine a imagem das funções definidas em
.
Passo 1
Beleza, temos a função
, definida para todos os números reais (
). Nosso objetivo aqui é descobrir quais valores o
pode assumir, ou seja, determinar a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções quadráticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
. O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente de
(
) é negativo, a parábola abre para baixo. Isso significa que ela tem um ponto mais alto, chamado vértice, que representa o valor máximo que o
pode atingir.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas do vértice, usamos a fórmula para a coordenada
do vértice:
Substituindo os valores:
Agora, substituímos
na função original para encontrar
:
Então, o vértice está no ponto
.
Passo 4
Como a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto, o valor máximo que
atinge é
. À medida que
se afastar de
, positivo ou negativo, os valores de
vão diminuindo sem limite inferior. Ou seja,
pode ser qualquer número menor ou igual a
.
Resposta
A imagem da função
é o conjunto de todos os números reais
tais que