Estude o sinal das funções definidas em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o sinal da função para todos os números reais . Isso faz parte do estudo de funções quadráticas na Matemática. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde a função é positiva ou negativa, ou seja, onde e onde .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função quadrática que está na forma . Aqui, temos:
Esses valores são importantes porque eles vão nos ajudar a encontrar as raízes da função, que são os pontos onde .

Passo 3

Para encontrar as raízes da função quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Vamos calcular o discriminante :
Substituindo os valores:

Passo 4

O discriminante ficou negativo ( ). Isso significa que a função quadrática não tem raízes reais, ou seja, não intercepta o eixo . Então, a função não muda de sinal; ela é sempre positiva ou sempre negativa.

Passo 5

Agora, vamos verificar o sinal da função. Como o coeficiente é negativo e a função não tem raízes reais, isso indica que o gráfico da parábola está voltado para baixo e está totalmente abaixo do eixo . Portanto, a função é sempre negativa para todos os valores de .

Resposta

A função é negativa para todos os números reais .

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Determine a imagem das funções definidas em .
Determine o valor de na função real para que o valor mínimo seja 1.
Resolva os sistemas:
Determine os valores de para que a função quadrática tenha dois zeros reais e distintos.