Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em
.
Passo 1
Beleza, o que a gente vai fazer aqui é encontrar o valor máximo ou mínimo da função
e descobrir em qual ponto isso acontece. Para isso, vamos usar cálculo, especialmente o conceito de derivadas para encontrar esses pontos críticos onde podem existir máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos onde a função pode ter um máximo ou mínimo, a gente precisa igualar a derivada a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
que faz a derivada igual a zero:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo. Para isso, observamos o coeficiente de
na função original.
Na função
, o coeficiente de
é 2, que é positivo. Isso significa que a parábola abre para cima, indicando que o ponto crítico é um mínimo.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar o valor de
quando
:
Resposta
A função
tem um valor mínimo de
no ponto
.
Exercícios relacionados
Para a equação
de raízes
e
usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Determine os zeros reais das funções:
Determine o valor de
na função real
para que o valor mínimo seja 1.
Determine a imagem das funções definidas em
.