Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em .

Passo 1

Beleza, o que a gente vai fazer aqui é encontrar o valor máximo ou mínimo da função e descobrir em qual ponto isso acontece. Para isso, vamos usar cálculo, especialmente o conceito de derivadas para encontrar esses pontos críticos onde podem existir máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
A função é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos onde a função pode ter um máximo ou mínimo, a gente precisa igualar a derivada a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos.

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de que faz a derivada igual a zero:

Passo 5

Com o valor de encontrado, precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo. Para isso, observamos o coeficiente de na função original.
Na função , o coeficiente de é 2, que é positivo. Isso significa que a parábola abre para cima, indicando que o ponto crítico é um mínimo.

Passo 6

Por fim, vamos encontrar o valor de quando :

Resposta

A função tem um valor mínimo de no ponto .

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Para a equação de raízes e usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Determine os zeros reais das funções:
Determine o valor de na função real para que o valor mínimo seja 1.
Determine a imagem das funções definidas em .