Determine a imagem das funções definidas em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a imagem da função , que está definida para todos os números reais ( ). A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, especificamente como encontrar o valor mínimo ou máximo de uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que estamos lidando. A função é uma função quadrática, que tem a forma geral . No nosso caso, , e .

Passo 3

Como o coeficiente é positivo, sabemos que a parábola abre para cima. Isso significa que a função possui um valor mínimo. Para encontrar esse valor mínimo, precisamos determinar o vértice da parábola.

Passo 4

A coordenada do vértice de uma parábola dada por pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos , vamos encontrar o valor de correspondente substituindo na função original:
Calculando passo a passo:

Resposta

A imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a . Em notação matemática:

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A parábola de equação passa pelo ponto e seu vértice é o ponto de coordenadas ( . Determine v .
Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em .
Estude o sinal das funções definidas em .
Resolva as inequações em :