Determine a imagem das funções definidas em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a imagem da função
, que está definida para todos os números reais (
). A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, especificamente como encontrar o valor mínimo ou máximo de uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de função que estamos lidando. A função
é uma função quadrática, que tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Como o coeficiente
é positivo, sabemos que a parábola abre para cima. Isso significa que a função possui um valor mínimo. Para encontrar esse valor mínimo, precisamos determinar o vértice da parábola.
Passo 4
A coordenada
do vértice de uma parábola dada por
pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar o valor de
correspondente substituindo
na função original:
Calculando passo a passo:
Resposta
A imagem da função
é todos os números reais maiores ou iguais a
. Em notação matemática: