Determine a imagem dos seguintes vetores, através da transformação
T(x1, x2)=(2 x1-x2, 3 x1+x2, 2 x1).
a) u=(-1,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma transformação linear que recebe um vetor bidimensional e o transforma em um vetor tridimensional . Nosso objetivo é encontrar a imagem do vetor através dessa transformação. Para resolver isso, precisamos aplicar a regra da transformação aos componentes do vetor .

Passo 2

A transformação T(x1, x2) = (2x1 - x2, 3x1 + x2, 2x1) é definida por:
Isso significa que, para qualquer vetor , cada componente do vetor resultante é uma combinação linear de e .

Passo 3

Vamos substituir os valores de na transformação . Ou seja, e .

Passo 4

Calculando cada componente da imagem:
Primeira componente &= 2x1 - x2 = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4 Segunda componente &= 3x1 + x2 = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 Terceira componente &= 2x1 = 2(-1) = -2
Aqui, aplicamos operações aritméticas básicas substituindo e pelos valores de .

Resposta

A imagem do vetor através da transformação é .

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