Determine as imagens das funções definidas em em cada um dos ítens abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a imagem da função quando varia em todos os números reais ( ). Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, como o vértice da parábola, para determinar quais são os possíveis valores que pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que temos. A função dada é uma função quadrática, já que o termo de maior grau é . A forma geral de uma função quadrática é , onde , e .

Passo 3

Para encontrar a imagem da função, precisamos descobrir o valor mínimo (ou máximo, se a parábola abrisse para baixo) que pode assumir. Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima, o que significa que existe um valor mínimo.

Passo 4

O valor mínimo da função ocorre no vértice da parábola. A fórmula para encontrar a coordenada do vértice é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos encontrar o valor de para determinar o valor mínimo da função:

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a . Em outras palavras:

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