Determine as imagens das funções definidas em
em cada um dos ítens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a imagem da função
quando
varia em todos os números reais (
). Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, como o vértice da parábola, para determinar quais são os possíveis valores que
pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de função que temos. A função dada é uma função quadrática, já que o termo de maior grau é
. A forma geral de uma função quadrática é
, onde
,
e
.
Passo 3
Para encontrar a imagem da função, precisamos descobrir o valor mínimo (ou máximo, se a parábola abrisse para baixo) que
pode assumir. Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima, o que significa que existe um valor mínimo.
Passo 4
O valor mínimo da função ocorre no vértice da parábola. A fórmula para encontrar a coordenada
do vértice é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos encontrar o valor de
para determinar o valor mínimo da função:
Resposta
A imagem da função
é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a
. Em outras palavras:
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em cada um dos ítens abaixo:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
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:
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