Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são:
Vamos resolver isso usando métodos de equações diferenciais lineares. Pra isso, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Aqui, é a unidade imaginária. Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e . Então,

Passo 3

Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação completa:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que precisamos encontrar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:

Passo 5

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Então,
Agora, derivamos para aplicar a segunda condição :
Simplificando,
Aplicando :
Substituindo :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Determine os vértices das parábolas:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
,
Determine as imagens das funções definidas em em cada um dos ítens abaixo:
Determine as imagens das funções definidas em em cada um dos ítens abaixo: