Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são:
Vamos resolver isso usando métodos de equações diferenciais lineares. Pra isso, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Aqui,
é a unidade imaginária. Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
. Então,
Passo 3
Agora, precisamos achar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Passo 5
Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então,
Agora, derivamos
para aplicar a segunda condição
:
Simplificando,
Aplicando
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Determine os vértices das parábolas:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
,
Determine as imagens das funções definidas em
em cada um dos ítens abaixo:
Determine as imagens das funções definidas em
em cada um dos ítens abaixo: