Determine as imagens das funções definidas em em cada um dos ítens abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as imagens da função definida em . Basicamente, queremos descobrir todos os valores que pode assumir quando varia por todos os números reais. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e como encontrar o intervalo de valores que a função pode atingir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral . No nosso caso, , e . Como , sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima. Isso significa que a função possui um valor mínimo, que será o ponto mais baixo da parábola.
Para encontrar esse valor mínimo, podemos completar o quadrado ou usar a fórmula do vértice. Vamos usar a fórmula do vértice, que nos dá as coordenadas do ponto mínimo (vértice) da parábola.
A fórmula para a coordenada do vértice é:
Substituindo os valores de e :
Agora, vamos encontrar o valor de nesse ponto:
Então, o valor mínimo que atinge é .

Resposta

A imagem da função é o intervalo .

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Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Determine os vértices das parábolas:
Determine as imagens das funções definidas em em cada um dos ítens abaixo:
Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou de mínimo de cada uma das funções abaixo, definidas em :