Determine as imagens das funções definidas em
em cada um dos ítens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as imagens da função
definida em
. Basicamente, queremos descobrir todos os valores que
pode assumir quando
varia por todos os números reais. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e como encontrar o intervalo de valores que a função pode atingir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
. Como
, sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima. Isso significa que a função possui um valor mínimo, que será o ponto mais baixo da parábola.
Para encontrar esse valor mínimo, podemos completar o quadrado ou usar a fórmula do vértice. Vamos usar a fórmula do vértice, que nos dá as coordenadas do ponto mínimo (vértice) da parábola.
A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Substituindo os valores de
e
:
Agora, vamos encontrar o valor de
nesse ponto:
Então, o valor mínimo que
atinge é
.
Resposta
A imagem da função
é o intervalo
.
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Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Determine os vértices das parábolas:
Determine as imagens das funções definidas em
em cada um dos ítens abaixo:
Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou de mínimo de cada uma das funções abaixo, definidas em
: