Determine a in R tal que a função
f(x) = { 1 + a x, se x <= 0; x^4 + 2 a, se x > 0 }
seja contínua em x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em . A função é definida de forma diferente para e para . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como garantir que as duas partes da função se “encaixem” perfeitamente no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, , então precisamos garantir que a função seja contínua em .

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função:
  • Para :
    Então, .
  • Para :
    Vamos calcular o limite dessa parte quando se aproxima de 0:

Passo 4

Agora, precisamos garantir que os limites pela esquerda e pela direita em sejam iguais e também iguais ao valor da função em . Ou seja:
Já sabemos que e . Vamos calcular o limite pela esquerda:
Portanto, temos:

Passo 5

Agora é só resolver a equação para encontrar :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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