Determine
tal que a função
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de
que faz com que a função
seja contínua em
. A função é definida de forma diferente para
e para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como garantir que as duas partes da função se “encaixem” perfeitamente no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso,
, então precisamos garantir que a função seja contínua em
.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função:
-
Para
: Então,. -
Para
: Vamos calcular o limite dessa parte quandose aproxima de 0:
Passo 4
Agora, precisamos garantir que os limites pela esquerda e pela direita em
sejam iguais e também iguais ao valor da função em
. Ou seja:
Já sabemos que
e
. Vamos calcular o limite pela esquerda:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora é só resolver a equação para encontrar
:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.