Mostre que a função y = c * e^(-6 x) é solução da equação y' + 6y = 0, qualquer que seja circ valor real c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a função resolve a equação diferencial , onde é qualquer número real. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente as de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função em relação a e depois substituir na equação para ver se ela se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A função dada é . A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia). Então, multiplicando pelo constante , temos:

Passo 3

Agora que temos , vamos substituir e na equação diferencial original :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Viu só? Tudo cancela e fica igual a zero, exatamente o que a equação pede.

Resposta

Portanto, a função é uma solução da equação diferencial para qualquer valor real de .

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