Determine a inclinação da reta tangente em (-1, 1, 5) da curva de interseção da superfície z = x^2 + 4*y^2 e
a) o plano x = -1

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto (-1, 1, 5) da curva que é formada pela interseção da superfície com o plano . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e curvas de interseção. Vamos precisar entender como a superfície se comporta nesse ponto específico e como a reta tangente se forma.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a equação da curva de interseção. Como o plano é , substituímos esse valor na equação da superfície:
Então, a curva de interseção está definida por e . Isso significa que, na verdade, estamos lidando com uma parábola no plano .

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função z em relação a y. A equação da curva é:
Derivando z em relação a y:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto de interesse, onde :
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto (-1, 1, 5).

Resposta

A inclinação da reta tangente é .

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