Seja
a) Mostre que diverge para .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral
diverge quando . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é definida em algum ponto do intervalo de integração ou se estende ao infinito. Para resolver isso, precisamos avaliar a integral com e verificar se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, substituímos na integral:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função próximo de . Sabemos que tende a quando se aproxima de 0, e tende a . Então, o produto também tende a quando se aproxima de 0.

Passo 4

Para determinar se a integral diverge, avaliamos o limite:
Calculando a antiderivada, temos:
Aplicando os limites:
Como o resultado tende a , a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral diverge quando .

Exercícios relacionados

Determine a inclinação da reta tangente em da curva de interseção da superfície e
b)o plano .
Determine a inclinação da reta tangente em da curva de interseção da superfície e
a) o plano
Se e são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função é solução da equação da onda .
Um ponto move-se ao longo da interseção do plano e do parabolóide elíptico . Qual é a taxa de variação de em relação a quando o ponto estiver em ?