Seja
I=integral0^1 x^p ln (x) d x
a) Mostre que I diverge para p=-1.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral
I = integral0^1 x^p ln (x) , dx
diverge quando . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é definida em algum ponto do intervalo de integração ou se estende ao infinito. Para resolver isso, precisamos avaliar a integral com e verificar se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, substituímos I = integral0^1 x^-1 ln (x) , dx na integral:
I = integral0^1 ln (x)x , dx
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função próximo de . Sabemos que tende a quando se aproxima de 0, e tende a . Então, o produto também tende a quando se aproxima de 0.

Passo 4

Para determinar se a integral diverge, avaliamos o limite:
lima to 0^+ integrala^1 ln(x)x , dx
Calculando a antiderivada, temos:
integral ln(x)x , dx = (ln(x))^22 + C
Aplicando os limites:
lima to 0^+ [ (ln(1))^22 - (ln(a))^22 ] = lima to 0^+ [ 0 - (ln(a))^22 ] = -infty
Como o resultado tende a , a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral diverge quando .

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