Seja
a) Mostre que
diverge para
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral
diverge quando
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é definida em algum ponto do intervalo de integração ou se estende ao infinito. Para resolver isso, precisamos avaliar a integral com
e verificar se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na integral:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função
próximo de
. Sabemos que
tende a
quando
se aproxima de 0, e
tende a
. Então, o produto
também tende a
quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Para determinar se a integral diverge, avaliamos o limite:
Calculando a antiderivada, temos:
Aplicando os limites:
Como o resultado tende a
, a integral não converge para um valor finito.
Resposta
A integral
diverge quando
.