Determine a inclinação da reta tangente em (-1, 1, 5) da curva de interseção da superfície z = x^2 + 4*y^2 e
b)o plano y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a inclinação da reta tangente na ponto (-1, 1, 5) da curva que resulta da interseção da superfície com o plano . Nosso conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, especificamente o conceito de curvas de interseção e derivadas para encontrar a inclinação da tangente. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular a derivada para achar a inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção. Como o plano é , substituímos esse valor na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é definida por e . Podemos parametrizar essa curva usando x como parâmetro:

Passo 3

Agora, para achar a inclinação da reta tangente nessa curva no ponto (-1, 1, 5), vamos derivar a função z em relação a x para encontrar a taxa de variação, que representa a inclinação.
A derivada de z em relação a x é:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada no ponto específico onde :
Isso significa que a inclinação da reta tangente nesse ponto é -2.

Resposta

A inclinação da reta tangente na ponto (-1, 1, 5) é -2.

Exercícios relacionados