Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função u(x, t) = f(x + a t) - g(x - a t) é solução da equação da onda u_tt = a^2 u_xx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função é solução da equação da onda . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e da própria equação diferencial da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser solução da equação da onda. Isso quer dizer que, ao calcularmos as derivadas segunda de em relação ao tempo e ao espaço , elas devem satisfazer a relação .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada primeira de em relação a . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada segunda de em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada primeira de em relação a :

Passo 6

Agora, a derivada segunda de em relação a :

Passo 7

Multiplicando por , temos:

Passo 8

Agora, comparamos com :

Resposta

Portanto, demonstramos que satisfaz a equação da onda , ou seja, é uma solução da equação.

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