Se
e
são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função
é solução da equação da onda
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
é solução da equação da onda
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e da própria equação diferencial da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser solução da equação da onda. Isso quer dizer que, ao calcularmos as derivadas segunda de
em relação ao tempo
e ao espaço
, elas devem satisfazer a relação
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada primeira de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada segunda de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada primeira de
em relação a
:
Passo 6
Agora, a derivada segunda de
em relação a
:
Passo 7
Multiplicando
por
, temos:
Passo 8
Agora, comparamos
com
:
Resposta
Portanto, demonstramos que
satisfaz a equação da onda
, ou seja, é uma solução da equação.
Exercícios relacionados
Seja
a) Mostre que
diverge para
.
Determine a inclinação da reta tangente em
da curva de interseção da superfície
e
b)o plano .
b)o plano
Um ponto move-se ao longo da interseção do plano
e do parabolóide elíptico
. Qual é a taxa de variação de
em relação a
quando o ponto estiver em
?
Use derivação implícita para determinar
c)
c)