Determine a inclinação da reta tangente em 1,2,7 da curva de interseção da superfície z = 3*x^2 + y^2 e o plano y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a inclinação da reta tangente na coordenada 1,2,7 da curva formada pela interseção da superfície com o plano . Isso envolve conceitos de cálculo e geometria analítica, como derivadas e curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como essas superfícies se cruzam e como encontrar a derivada que nos dá a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva de interseção. Temos o plano , então podemos substituir esse valor na equação da superfície para simplificar. Substituindo y por na equação , ficamos com:
Isso significa que a curva de interseção está descrita pela equação no plano .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Para achar a inclinação dessa reta, precisamos calcular a derivada de z em relação a x na coordenada x = 1. A derivada nos dá a taxa de variação de z em relação a x, que é exatamente a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Vamos derivar a função em relação a x:
Agora, substituímos x = 1 na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico:

Resposta

A inclinação da reta tangente na coordenada 1,2,7 é .

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