Determine a inclinação da reta tangente em da curva de interseção da superfície e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a inclinação da reta tangente na coordenada da curva formada pela interseção da superfície com o plano . Isso envolve conceitos de cálculo e geometria analítica, como derivadas e curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como essas superfícies se cruzam e como encontrar a derivada que nos dá a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva de interseção. Temos o plano , então podemos substituir esse valor na equação da superfície para simplificar. Substituindo por na equação , ficamos com:
Isso significa que a curva de interseção está descrita pela equação no plano .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Para achar a inclinação dessa reta, precisamos calcular a derivada de em relação a na coordenada . A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a , que é exatamente a inclinação da reta tangente.
Passo 4
Vamos derivar a função em relação a :
Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico: