Determine todos os valores complexos que satisfazem as equações
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os números complexos
que satisfazem a equação
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções trigonométricas para números complexos. Precisaremos aplicar a fórmula da seno para números complexos e resolver as equações resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
como um número complexo na forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula do seno para números complexos:
Queremos que isso seja igual a
, ou seja:
Passo 4
Vamos igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
Passo 5
Da primeira equação,
. Sabemos que
é sempre maior ou igual a 1 para qualquer
, então a única maneira dessa equação ser verdadeira é se
.
Passo 6
Se
, então
deve ser múltiplo de
. Ou seja:
Passo 7
Agora, substituímos
na segunda equação:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Resolvemos para
:
Isso nos dá duas possibilidades para
:
Passo 9
Portanto, as soluções para
são:
Resposta
Todos os números complexos que satisfazem
são da forma: