Determine todos os valores complexos que satisfazem as equações

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os números complexos que satisfazem a equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções trigonométricas para números complexos. Precisaremos aplicar a fórmula da seno para números complexos e resolver as equações resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar como um número complexo na forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do seno para números complexos:
Queremos que isso seja igual a , ou seja:

Passo 4

Vamos igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
á

Passo 5

Da primeira equação, . Sabemos que é sempre maior ou igual a 1 para qualquer , então a única maneira dessa equação ser verdadeira é se .

Passo 6

Se , então deve ser múltiplo de . Ou seja:
éú

Passo 7

Agora, substituímos na segunda equação:
Sabemos que , então:

Passo 8

Resolvemos para :
Isso nos dá duas possibilidades para :

Passo 9

Portanto, as soluções para são:
éú

Resposta

Todos os números complexos que satisfazem são da forma:

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a) e .