Determine Int(A), A com barra, A primo e fr(A).
A = [0,+infinito)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto e precisamos determinar quatro conceitos topológicos relacionados a ele: o interior de ( ), o fechamento de ( ), o conjunto derivado de ( ) e a fronteira de ( ).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de topologia, como interior, fechamento, pontos de acumulação e fronteira. Vamos abordar cada um passo a passo.

Passo 2

Interior de ( ):
O interior de um conjunto é formado por todos os pontos que estão “bem dentro” do conjunto, ou seja, que possuem um entorno totalmente contido no conjunto.
No caso de , estamos considerando todos os números reais maiores ou iguais a zero. Vamos analisar quais desses pontos têm um entorno que também está completamente dentro de .
  • Para qualquer número , podemos encontrar um pequeno intervalo ao redor de que ainda está totalmente dentro de .
  • No entanto, o ponto não possui um entorno completamente dentro de , já que qualquer intervalo ao redor de incluiria números negativos, que não pertencem a .
Portanto, o interior de é todos os números maiores que zero, ou seja:

Passo 3

Fechamento de ( ):
O fechamento de um conjunto inclui todos os pontos do conjunto mais seus pontos de limite (ou pontos de acumulação). Basicamente, é o menor conjunto fechado que contém .
Para :
  • já inclui o ponto .
  • Além disso, todos os pontos maiores que ou iguais a zero fazem parte de , e não há “buracos” no conjunto.
Portanto, o fechamento de é ele mesmo:

Passo 4

Conjunto Derivado de ( ):
O conjunto derivado de consiste em todos os pontos de acumulação de . Um ponto de acumulação é aquele onde, qualquer intervalor ao redor dele, contém pelo menos um ponto de diferente dele mesmo.
Para :
  • Qualquer ponto é um ponto de acumulação, pois podemos sempre encontrar outros pontos de próximos a .
  • Não há pontos “isolados” em , já que entre quaisquer dois pontos de , sempre há outros pontos de .
Portanto, o conjunto derivado de é:

Passo 5

Fronteira de ( ):
A fronteira de um conjunto é composta pelos pontos que estão tanto no fechamento do conjunto quanto no fechamento do complementar do conjunto. Basicamente, são os pontos onde o conjunto “se encontra” com o seu entorno.
Para :
  • Já vimos que .
  • O complementar de é , e o fechamento desse complementar é .
  • A intersecção desses fechamentos é o ponto .
Portanto, a fronteira de é:

Resposta

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