Determine
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto
e precisamos determinar quatro conceitos topológicos relacionados a ele: o interior de
(
), o fechamento de
(
), o conjunto derivado de
(
) e a fronteira de
(
).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de topologia, como interior, fechamento, pontos de acumulação e fronteira. Vamos abordar cada um passo a passo.
Passo 2
Interior de
(
):
O interior de um conjunto é formado por todos os pontos que estão “bem dentro” do conjunto, ou seja, que possuem um entorno totalmente contido no conjunto.
No caso de
, estamos considerando todos os números reais maiores ou iguais a zero. Vamos analisar quais desses pontos têm um entorno que também está completamente dentro de
.
- Para qualquer número
, podemos encontrar um pequeno intervalo ao redor de que ainda está totalmente dentro de . - No entanto, o ponto
não possui um entorno completamente dentro de , já que qualquer intervalo ao redor de incluiria números negativos, que não pertencem a .
Portanto, o interior de
é todos os números maiores que zero, ou seja:
Passo 3
Fechamento de
(
):
O fechamento de um conjunto inclui todos os pontos do conjunto mais seus pontos de limite (ou pontos de acumulação). Basicamente, é o menor conjunto fechado que contém
.
Para
:
-
já inclui o ponto . - Além disso, todos os pontos maiores que ou iguais a zero fazem parte de
, e não há “buracos” no conjunto.
Portanto, o fechamento de
é ele mesmo:
Passo 4
Conjunto Derivado de
(
):
O conjunto derivado de
consiste em todos os pontos de acumulação de
. Um ponto de acumulação é aquele onde, qualquer intervalor ao redor dele, contém pelo menos um ponto de
diferente dele mesmo.
Para
:
- Qualquer ponto
é um ponto de acumulação, pois podemos sempre encontrar outros pontos de próximos a . - Não há pontos “isolados” em
, já que entre quaisquer dois pontos de , sempre há outros pontos de .
Portanto, o conjunto derivado de
é:
Passo 5
Fronteira de
(
):
A fronteira de um conjunto é composta pelos pontos que estão tanto no fechamento do conjunto quanto no fechamento do complementar do conjunto. Basicamente, são os pontos onde o conjunto “se encontra” com o seu entorno.
Para
:
- Já vimos que
. - O complementar de
é , e o fechamento desse complementar é . - A intersecção desses fechamentos é o ponto
.
Portanto, a fronteira de
é: