In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições de contorno e . Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições de contorno para determinar as constantes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea correspondente:
Para encontrar a solução dessa equação, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Isso indica que as soluções são funções trigonométricas. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Suponhamos que a solução particular tenha a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos e na equação original:
Simplificando:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e . Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando a condição :
Aplicando a condição :
Como , concluímos que .
Portanto, a solução da equação diferencial é:

Resposta

A solução da equação diferencial dada, que satisfaz as condições de contorno, é .

Exercícios relacionados

Determine e .
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Calcule .
Determine e .