In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições de contorno
e
. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições de contorno para determinar as constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea correspondente:
Para encontrar a solução dessa equação, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Isso indica que as soluções são funções trigonométricas. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Suponhamos que a solução particular tenha a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicando a condição
:
Aplicando a condição
:
Como
, concluímos que
.
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, que satisfaz as condições de contorno, é
.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Calcule
.
Determine
e
.