Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar (o interior de ), (o fechamento de ), (o conjunto derivado de ) e (a fronteira de ). A gente tem que trabalhar com o conjunto , ou seja, todos os números reais menos o zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de topologia como interior, fechamento, pontos de acumulação e fronteira.

Passo 2

Vamos começar encontrando o interior de , denotado por . O interior de um conjunto é formado por todos os pontos que têm um entorno totalmente contido em . No nosso caso, é sem o zero. Se pensarmos bem, qualquer ponto real diferente de zero pode ter um pequeno intervalo ao redor dele que não inclui o zero, então todos esses pontos estão no interior de . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos determinar o fechamento de , representado por . O fechamento de um conjunto inclui todos os seus pontos, mais os seus pontos de acumulação (ou pontos de aderência). Já que é sem o zero, e o zero é um ponto de acumulação de (porque toda vizinhança de zero contém pontos de ), o fechamento de será:

Passo 4

Vamos para o conjunto derivado de , . Esse conjunto é formado por todos os pontos de acumulação de . No nosso caso, qualquer ponto real, inclusive o zero, é um ponto de acumulação de , porque em qualquer intervalo ao redor de qualquer número real, sempre tem outros números de . Então:

Passo 5

Por último, vamos encontrar a fronteira de , . A fronteira de um conjunto é a diferença entre o fechamento e o interior do conjunto. Já vimos que:
Então, a fronteira é:

Resposta

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\right.$.
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