Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar
(o interior de
),
(o fechamento de
),
(o conjunto derivado de
) e
(a fronteira de
). A gente tem que trabalhar com o conjunto
, ou seja, todos os números reais menos o zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de topologia como interior, fechamento, pontos de acumulação e fronteira.
Passo 2
Vamos começar encontrando o interior de
, denotado por
. O interior de um conjunto é formado por todos os pontos que têm um entorno totalmente contido em
. No nosso caso,
é
sem o zero. Se pensarmos bem, qualquer ponto real diferente de zero pode ter um pequeno intervalo ao redor dele que não inclui o zero, então todos esses pontos estão no interior de
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos determinar o fechamento de
, representado por
. O fechamento de um conjunto inclui todos os seus pontos, mais os seus pontos de acumulação (ou pontos de aderência). Já que
é
sem o zero, e o zero é um ponto de acumulação de
(porque toda vizinhança de zero contém pontos de
), o fechamento de
será:
Passo 4
Vamos para o conjunto derivado de
,
. Esse conjunto é formado por todos os pontos de acumulação de
. No nosso caso, qualquer ponto real, inclusive o zero, é um ponto de acumulação de
, porque em qualquer intervalo ao redor de qualquer número real, sempre tem outros números de
. Então:
Passo 5
Por último, vamos encontrar a fronteira de
,
. A fronteira de um conjunto é a diferença entre o fechamento e o interior do conjunto. Já vimos que:
Então, a fronteira é:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Verifique se a função
é derivável em
.
Seja $f(x) = \left{
\right.$.
Determine o valor de para que
seja contínua em
.
\right.$.
Determine o valor de
Determine
e
.