Verifique se a função é derivável em .

Passo 1

A gente vai resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas. A questão pede para verificar se a função é derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável e como calcular derivadas, especialmente para funções que envolvem valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivabilidade. Uma função é derivável em um ponto se ela tiver uma derivada bem definida nesse ponto, ou seja, se a inclinação da função nesse ponto existir. Para funções que envolvem valor absoluto, como , precisamos analisar o comportamento da função nos arredores do ponto de interesse.

Passo 3

Vamos analisar a função em torno de . O valor absoluto cria um “canto” na função, que pode causar problemas na derivada. Vamos calcular a derivada à esquerda e à direita de .

Passo 4

Primeiro, para :

A derivada de neste intervalo é:

Passo 5

Agora, para :

A derivada de neste intervalo é:

Passo 6

No ponto , vamos verificar o limite das derivadas à esquerda e à direita:
  • A derivada à esquerda é
  • A derivada à direita é
    Como os limites não são iguais, a derivada não existe nesse ponto.

Resposta

A função não é derivável em .

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Determine e .
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