Verifique se a função
é derivável em
.
Passo 1
A gente vai resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas. A questão pede para verificar se a função
é derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável e como calcular derivadas, especialmente para funções que envolvem valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivabilidade. Uma função é derivável em um ponto se ela tiver uma derivada bem definida nesse ponto, ou seja, se a inclinação da função nesse ponto existir. Para funções que envolvem valor absoluto, como
, precisamos analisar o comportamento da função nos arredores do ponto de interesse.
Passo 3
Vamos analisar a função
em torno de
. O valor absoluto cria um “canto” na função, que pode causar problemas na derivada. Vamos calcular a derivada à esquerda e à direita de
.
Passo 4
Primeiro, para
:
A derivada de neste intervalo é:
A derivada de
Passo 5
Agora, para
:
A derivada de neste intervalo é:
A derivada de
Passo 6
No ponto
, vamos verificar o limite das derivadas à esquerda e à direita:
- A derivada à esquerda é
- A derivada à direita é
Como os limites não são iguais, a derivada não existe nesse ponto.
Resposta
A função
não é derivável em
.
Exercícios relacionados
Se
são compactos, então
é compacto.
Sejam
conjuntos disjuntos e não-vazios, com
compacto e
fechado. Mostre que existem
tais que
Determine
e
.
Determine
e
.