Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a (interior de A), (fecho de A), (conjunto derivado de A) e (fronteira de A) da seguinte união de intervalos:
Estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente em análise de conjuntos no conjunto dos números reais. Para isso, vamos precisar entender o que são interior, fecho, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o interior de , que é o conjunto de todos os pontos de que não estão na sua borda. Em termos mais simples, são os pontos que têm uma pequena vizinhança inteira contida em .
Para o intervalo , o interior é porque o ponto não está no interior (já que não há um intervalo aberto ao redor de totalmente contido em ). Já para , todo o intervalo já é aberto, então o interior é ele mesmo:

Passo 3

Agora, vamos determinar o fecho de , que é o menor conjunto fechado que contém . Isso inclui todos os pontos de mais seus pontos de acumulação (ou limites).
Para , o fecho é porque incluímos o ponto , que é um limite de . Para , o fecho é , já que tanto quanto são limites:

Passo 4

O conjunto derivado é o conjunto de todos os pontos de acumulação de . Basicamente, são os pontos onde você pode se aproximar por outros pontos de .
Para , todos os pontos em são pontos de acumulação, e para , todos em também são. Então:

Passo 5

Por fim, vamos achar a fronteira de , que é o conjunto de pontos que estão no fecho de mas não estão no interior de . Basicamente, são os pontos na “borda” de .
Usando os resultados anteriores:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja $f(x) = \left{
\right.$.
Determine o valor de para que seja contínua em .
Determine e .
Calcule a derivada da função .
Se é fechado e fechado, mostre que pode não ser fechado.