Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a
(interior de A),
(fecho de A),
(conjunto derivado de A) e
(fronteira de A) da seguinte união de intervalos:
Estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente em análise de conjuntos no conjunto dos números reais. Para isso, vamos precisar entender o que são interior, fecho, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o interior de
, que é o conjunto de todos os pontos de
que não estão na sua borda. Em termos mais simples, são os pontos que têm uma pequena vizinhança inteira contida em
.
Para o intervalo
, o interior é
porque o ponto
não está no interior (já que não há um intervalo aberto ao redor de
totalmente contido em
). Já para
, todo o intervalo já é aberto, então o interior é ele mesmo:
Passo 3
Agora, vamos determinar o fecho de
, que é o menor conjunto fechado que contém
. Isso inclui todos os pontos de
mais seus pontos de acumulação (ou limites).
Para
, o fecho é
porque incluímos o ponto
, que é um limite de
. Para
, o fecho é
, já que tanto
quanto
são limites:
Passo 4
O conjunto derivado
é o conjunto de todos os pontos de acumulação de
. Basicamente, são os pontos onde você pode se aproximar por outros pontos de
.
Para
, todos os pontos em
são pontos de acumulação, e para
, todos em
também são. Então:
Passo 5
Por fim, vamos achar a fronteira
de
, que é o conjunto de pontos que estão no fecho de
mas não estão no interior de
. Basicamente, são os pontos na “borda” de
.
Usando os resultados anteriores:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja $f(x) = \left{
\right.$.
Determine o valor de para que
seja contínua em
.
\right.$.
Determine o valor de
Determine
e
.
Calcule a derivada da função
.
Se
é fechado e
fechado, mostre que
pode não ser fechado.