Determine Int(A), A com barra, A primo e fr(A).
A=(2,3] ∪ (4,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a (interior de A), (fecho de A), A' (conjunto derivado de A) e (fronteira de A) da seguinte união de intervalos:
Estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente em análise de conjuntos no conjunto dos números reais. Para isso, vamos precisar entender o que são interior, fecho, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o interior de A, que é o conjunto de todos os pontos de A que não estão na sua borda. Em termos mais simples, são os pontos que têm uma pequena vizinhança inteira contida em A.
Para o intervalo , o interior é (2,3) porque o ponto não está no interior (já que não há um intervalo aberto ao redor de totalmente contido em A). Já para 4,5, todo o intervalo já é aberto, então o interior é ele mesmo:

Passo 3

Agora, vamos determinar o fecho de A, que é o menor conjunto fechado que contém A. Isso inclui todos os pontos de A mais seus pontos de acumulação (ou limites).
Para , o fecho é [2, 3] porque incluímos o ponto , que é um limite de A. Para 4,5, o fecho é [4, 5], já que tanto quanto são limites:

Passo 4

O conjunto derivado A' é o conjunto de todos os pontos de acumulação de A. Basicamente, são os pontos onde você pode se aproximar por outros pontos de A.
Para , todos os pontos em [2, 3] são pontos de acumulação, e para 4,5, todos em [4, 5] também são. Então:

Passo 5

Por fim, vamos achar a fronteira de A, que é o conjunto de pontos que estão no fecho de A mas não estão no interior de A. Basicamente, são os pontos na “borda” de A.
Usando os resultados anteriores:

Resposta

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