Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos quatro coisas sobre o conjunto (os números naturais). Isso envolve conceitos de topologia, que é uma área da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas mesmo quando a gente deforma eles de jeitos continuos, como esticar ou encolher, mas sem cortar ou colar partes diferentes.
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender:
  • Interior ( ): pontos que estão “dentro” de , sem estar na borda.
  • Fecho ( ): todos os pontos de junto com seus pontos de acumulação (se houver).
  • Conjunto derivado ( ): conjunto de todos os pontos de acumulação de .
  • Fronteira ( ): pontos que estão na borda de , ou seja, onde o interior de e o interior do complementar de se encontram.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Determinar o Interior de , ou seja, :
O interior de um conjunto consiste em todos os pontos de que têm uma “vizinhança” completamente dentro de . No espaço dos números reais com a topologia padrão, isso significa que para qualquer ponto em , deve existir um intervalo aberto em torno de que esteja totalmente dentro de .
Mas, no caso de , os números naturais são pontos isolados; não há nenhum intervalo aberto em torno de um número natural que contenha apenas números naturais. Qualquer intervalo ao redor de um número natural também inclui números reais que não são naturais.
Então, o interior de é vazio:

Passo 3

Determinar o Fecho de , ou seja, :
O fecho de inclui todos os pontos de mais todos os pontos de acumulação de . Um ponto de acumulação é aquele onde qualquer intervalo ao redor dele contém pontos de diferentes dele mesmo.
Como é um conjunto de pontos isolados no espaço dos números reais, não há pontos de acumulação além dos próprios pontos de .
Portanto, o fecho de é mesmo:

Passo 4

Determinar o Conjunto Derivado de , ou seja, :
O conjunto derivado consiste em todos os pontos de acumulação de . Como vimos, em , não há pontos de acumulação além dos próprios números naturais, e cada número é isolado.
Logo, o conjunto derivado de é vazio:

Passo 5

Determinar a Fronteira de , ou seja, :
A fronteira de é definida como o fecho de menos o interior de :
Já sabemos que:
Então:

Resposta

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