Seja $f(x) = \left{
\right.$.
Determine o valor de para que seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada que muda de expressão dependendo do valor de . A questão é sobre continuidade, que basicamente significa que a função não tem “saltos” ou “quebras” no ponto . Para garantir isso, precisamos fazer com que o valor que a função atinge quando se aproxima de 2 pela esquerda seja igual ao valor quando se aproxima pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que a função dá exatamente em . Como nessa parte da função, usamos a expressão :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2). Como estamos usando a mesma parte da função, o limite é simplesmente o valor que já calculamos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2). Aqui, usamos a outra parte da função, que é :

Passo 5

Para a função ser contínua em , os limites dos dois lados precisam ser iguais e também iguais a . Então, igualamos os limites:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar :

Resposta

O valor de que torna contínua em é .

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Determine e .
Determine e .
Determine e .
Calcule a derivada da função .