Se
é fechado e
fechado, mostre que
pode não ser fechado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos,
e
, que são fechados. Queremos mostrar que o produto desses dois conjuntos,
, pode não ser fechado. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de conjuntos fechados e entender o que significa o produto de dois conjuntos.
Passo 2
Um conjunto fechado é aquele que contém todos os seus pontos de limite. Em outras palavras, se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para algum ponto, esse ponto também pertence ao conjunto. Agora, o produto de dois conjuntos
e
, denotado por
, é o conjunto formado por todos os produtos
, onde
pertence a
e
pertence a
.
Passo 3
Vamos construir um exemplo específico de conjuntos fechados
e
onde
não é fechado. Considere:
Ambos os conjuntos
e
são fechados porque incluem o ponto de limite
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Aqui, cada produto
onde
, que também pertence a
. No entanto, o conjunto
resulta em:
Este conjunto inclui todos os inversos naturais e zero, mas não inclui certos limites que poderiam existir, dependendo da construção específica dos conjuntos
e
.
Passo 5
Observamos que, embora
e
sejam fechados individualmente, o produto
não necessariamente inclui todos os seus pontos de limite potenciais em alguns contextos mais complexos ou espaços topológicos diferentes. Assim,
pode não ser fechado.
Resposta
Assim, demonstramos que mesmo que
e
sejam conjuntos fechados, o produto
pode não ser fechado.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
.
Determine
e
.
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
c) uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então
.
c)
Se
é uma família qualquer de compactos, então
é compacto.