Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
c) uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Seja e uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então .
Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos fechados e interseção de conjuntos. Para resolver, vamos analisar se sempre existe pelo menos um elemento comum em todos os conjuntos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios. Isso quer dizer que cada conjunto está contido em e que todos esses conjuntos são fechados (não deixam “falhas” ou “buracos”) e têm pelo menos um elemento.
A questão é saber se, no final, quando pegarmos todos esses conjuntos juntos (a interseção ), sempre vai ter algum elemento.

Passo 3

Agora, vamos pensar em um contra-exemplo, ou seja, mostrar que essa afirmação nem sempre é verdadeira.
Vamos considerar o espaço (a reta real). Vamos definir a sequência de conjuntos fechados da seguinte maneira:
Aqui, cada é um intervalo fechado que começa em e vai até o infinito. Claramente, essa é uma sequência descendente porque , e todos os são fechados e não vazios.

Passo 4

Vamos agora calcular a interseção de todos esses conjuntos:
O que significa isso? Significa que estamos procurando por todos os números que estão em todos os . Mas, à medida que aumenta, o início do intervalo também aumenta sem limite.

Passo 5

Olhando bem, para qualquer número real , sempre existe um suficientemente grande tal que . Isso significa que não estará em todos os , já que para esse , não pertence a .
Portanto, não existe nenhum número que esteja em todos os .

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a sequência em , onde a interseção é vazia.

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Se é uma família qualquer de compactos, então é compacto.
Determine e .