Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
c)
uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Seja
e
uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então
.
Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos fechados e interseção de conjuntos. Para resolver, vamos analisar se sempre existe pelo menos um elemento comum em todos os conjuntos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios. Isso quer dizer que cada conjunto
está contido em
e que todos esses conjuntos são fechados (não deixam “falhas” ou “buracos”) e têm pelo menos um elemento.
A questão é saber se, no final, quando pegarmos todos esses conjuntos juntos (a interseção
), sempre vai ter algum elemento.
Passo 3
Agora, vamos pensar em um contra-exemplo, ou seja, mostrar que essa afirmação nem sempre é verdadeira.
Vamos considerar o espaço
(a reta real). Vamos definir a sequência de conjuntos fechados da seguinte maneira:
Aqui, cada
é um intervalo fechado que começa em
e vai até o infinito. Claramente, essa é uma sequência descendente porque
, e todos os
são fechados e não vazios.
Passo 4
Vamos agora calcular a interseção de todos esses conjuntos:
O que significa isso? Significa que estamos procurando por todos os números que estão em todos os
. Mas, à medida que
aumenta, o início do intervalo
também aumenta sem limite.
Passo 5
Olhando bem, para qualquer número real
, sempre existe um
suficientemente grande tal que
. Isso significa que
não estará em todos os
, já que para esse
,
não pertence a
.
Portanto, não existe nenhum número que esteja em todos os
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a sequência
em
, onde a interseção
é vazia.
Exercícios relacionados
Se
é fechado e
fechado, mostre que
pode não ser fechado.
Calcule a derivada da função
.
Se
é uma família qualquer de compactos, então
é compacto.
Determine
e
.