Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar quatro coisas sobre o conjunto que é igual aos números racionais, ou seja, . Os termos que vamos analisar são:
Interior de ()
Fechamento de ()
Conjunto derivado de ()
Fronteira de ()
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de topologia, que é uma parte da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas.
Passo 2
Interno de ()
O interior de um conjunto é o maior conjunto aberto que está contido nele. Um conjunto aberto no espaço dos números reais é um conjunto onde, para cada ponto, existe um intervalo ao redor desse ponto que está completamente dentro do conjunto.
Explicação: Os números racionais são ralos no sentido de que entre qualquer dois números reais existe irracionais. Então, não dá para formar um intervalo aberto apenas com racionais.
Conclusão: Portanto, o interior de é vazio.
Passo 3
Fechamento de ()
O fechamento de um conjunto é a menor conjunto fechado que contém . Um conjunto fechado contém todos os seus pontos limite.
Explicação: Os racionais são densos nos reais, o que significa que a partir de qualquer número real, você pode encontrar racionais arbitrariamente próximos. Portanto, todos os números reais são pontos limite de .
Conclusão: Assim, o fechamento de é todo o conjunto dos números reais.
Passo 4
Conjunto derivado de ()
O conjunto derivado consiste em todos os pontos limite do conjunto .
Explicação: Como mencionei antes, os racionais são densos em , então qualquer número real é um ponto limite de .
Conclusão: Logo, o conjunto derivado de também é todo o conjunto dos números reais.
Passo 5
Fronteira de ()
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos que podem ser aproximados tanto por pontos dentro de quanto por pontos fora de .
Explicação: No caso de , como seu fechamento é e o interior é vazio, a fronteira é simplesmente a diferença entre o fechamento e o interior.