Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge:
Essa é uma série alternada porque temos o fator
, que faz os termos mudarem de sinal. Para testar a convergência, vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos positivos da série diminuem e tendem a zero, então a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos positivos da série:
Precisamos verificar se
.
Passo 3
Calculando o limite:
Sabemos que
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em
, então o denominador vai para infinito muito rápido, e o numerador fica relativamente pequeno. Assim,
Passo 4
Agora, vamos ver se os termos
estão realmente diminuindo conforme
aumenta. Observando a expressão:
À medida que
cresce, tanto
quanto
aumentam, fazendo com que
diminua.
Passo 5
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (os termos tendem a zero e estão diminuindo), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge pela aplicação do Teste da Série Alternada.
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Determine
e
.