Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge:
Essa é uma série alternada porque temos o fator , que faz os termos mudarem de sinal. Para testar a convergência, vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos positivos da série diminuem e tendem a zero, então a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos positivos da série:
Precisamos verificar se .

Passo 3

Calculando o limite:
Sabemos que cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em , então o denominador vai para infinito muito rápido, e o numerador fica relativamente pequeno. Assim,

Passo 4

Agora, vamos ver se os termos estão realmente diminuindo conforme aumenta. Observando a expressão:
À medida que cresce, tanto quanto aumentam, fazendo com que diminua.

Passo 5

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (os termos tendem a zero e estão diminuindo), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge pela aplicação do Teste da Série Alternada.

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In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
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Determine e .