Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty (-1)^n n(n+1)^n(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge:
sumn=1^infty (-1)^n n(n+1)^n(n+2)
Essa é uma série alternada porque temos o fator (-1)^n, que faz os termos mudarem de sinal. Para testar a convergência, vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos positivos da série diminuem e tendem a zero, então a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos positivos da série:
an = n(n+1)^n(n+2)
Precisamos verificar se limn to infty an = 0.

Passo 3

Calculando o limite:
limn to infty n(n+1)^n(n+2)
Sabemos que (n+1)^n cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em n, então o denominador vai para infinito muito rápido, e o numerador fica relativamente pequeno. Assim,
limn to infty an = 0

Passo 4

Agora, vamos ver se os termos an estão realmente diminuindo conforme n aumenta. Observando a expressão:
an = n(n+1)^n(n+2)
À medida que n cresce, tanto (n+1)^n quanto (n+2) aumentam, fazendo com que an diminua.

Passo 5

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (os termos tendem a zero e estão diminuindo), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge pela aplicação do Teste da Série Alternada.

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