In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno. A equação que temos é:
com as condições:
Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A gente encontra as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos supor que a solução particular tem a forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição:
Então:
Segunda condição:
Substituindo
da primeira condição:
Isso resulta em uma contradição, ou seja, não existe valor para
que satisfaça ambas as condições de contorno.
Resposta
Não existe solução que satisfaça as condições de contorno dadas para a equação diferencial apresentada.
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Teste a série quanto a convergência ou divergência.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Determine
e
.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)