Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a interior de (denotado por ), o fechamento de (denotado por ), o conjunto derivado de (denotado por ) e a fronteira de (denotado por ). Aqui, é o conjunto dos números inteiros, ou seja, .
Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de topologia no espaço dos números reais com a topologia usual:
Interior (): é o maior conjunto aberto contido em .
Fechamento (): é o menor conjunto fechado que contém .
Conjunto derivado (): é o conjunto de todos os pontos de acumulação de .
Fronteira (): é o conjunto de pontos que estão na fronteira de , ou seja, pertencem ao fechamento de e ao fechamento do complemento de .
Agora, vamos passo a passo resolver cada parte.
Passo 2
Determinar a Interior de ()
A interior de é o maior conjunto aberto que está completamente dentro de . Nos números reais com a topologia usual, conjuntos abertos são formados por intervalos abertos.
Como é o conjunto dos inteiros, que são pontos isolados na reta real, não existem intervalos abertos inteiros dentro de . Isso significa que não há nenhum ponto em que tenha um intervalo aberto ao seu redor completamente contido em .
Portanto, .
Passo 3
Determinar o Fechamento de ()
O fechamento de é o menor conjunto fechado que contém todos os pontos de . Em , conjuntos fechados são aqueles que contêm todos os seus pontos de acumulação.
Como já é um conjunto fechado em (pois seus pontos são isolados e não acumulam em nenhum outro ponto), o fechamento de é ele próprio.
Logo, .
Passo 4
Determinar o Conjunto Derivado de ()
O conjunto derivado consiste em todos os pontos de acumulação de . Um ponto é de acumulação de se toda vizinhança de contém pelo menos um ponto de diferente de .
Como são pontos isolados, não há pontos onde múltiplos elementos de se acumulam. Ou seja, não existem pontos de acumulação para em .
Portanto, .
Passo 5
Determinar a Fronteira de ()
A fronteira de é o conjunto de pontos que estão no fechamento de e também no fechamento do complemento de , ou seja, .
Já vimos que . Agora, vamos determinar .
O complemento de é , que é aberto e denso em . Seu fechamento é todo o espaço , pois entre quaisquer dois reais não inteiros sempre há um inteiro.