Sejam
fechado e
. Mostre que
é um ponto isolado de
se, e somente se,
é ainda fechado.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se
é um conjunto fechado e contém o ponto
, então
é um ponto isolado de
se e somente se o conjunto
sem o ponto
, ou seja,
, continua sendo fechado. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser fechado, o que é um ponto isolado e como essas definições se relacionam.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é um conjunto fechado: em topologia, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Ou seja, se uma sequência de pontos em
converge para um ponto, esse ponto também está em
.
Passo 3
Agora, vamos definir o que é um ponto isolado. Um ponto
em um conjunto
é chamado de ponto isolado se existe uma vizinhança de
que não contém nenhum outro ponto de
além de
. Isso significa que
não é um ponto de acumulação de
.
Passo 4
Vamos primeiramente assumir que
é um ponto isolado de
e mostrar que
é fechado. Como
é isolado, existe uma vizinhança ao redor de
que não contém outros pontos de
. Portanto, ao remover
, não estamos deixando nenhum ponto de acumulação fora de
, mantendo assim
fechado.
Passo 5
Agora, vamos fazer o inverso: assumir que
é fechado e mostrar que
é um ponto isolado de
. Como
é fechado e
também é fechado, a diferença entre eles, que é apenas o ponto
, deve ser um conjunto aberto. Isso implica que existe uma vizinhança ao redor de
que não contém outros pontos de
, ou seja,
é um ponto isolado.
Resposta
Assim, mostramos que
é um ponto isolado de
se e somente se
é fechado.
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Determine
e
.