Sejam F fechado e x in F. Mostre que x é um ponto isolado de F se, e somente se, F - {x} é ainda fechado.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se F é um conjunto fechado e contém o ponto x, então x é um ponto isolado de F se e somente se o conjunto F sem o ponto x, ou seja, , continua sendo fechado. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser fechado, o que é um ponto isolado e como essas definições se relacionam.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é um conjunto fechado: em topologia, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Ou seja, se uma sequência de pontos em F converge para um ponto, esse ponto também está em F.

Passo 3

Agora, vamos definir o que é um ponto isolado. Um ponto x em um conjunto F é chamado de ponto isolado se existe uma vizinhança de x que não contém nenhum outro ponto de F além de x. Isso significa que x não é um ponto de acumulação de F.

Passo 4

Vamos primeiramente assumir que x é um ponto isolado de F e mostrar que é fechado. Como x é isolado, existe uma vizinhança ao redor de x que não contém outros pontos de F. Portanto, ao remover x, não estamos deixando nenhum ponto de acumulação fora de , mantendo assim fechado.

Passo 5

Agora, vamos fazer o inverso: assumir que é fechado e mostrar que x é um ponto isolado de F. Como F é fechado e também é fechado, a diferença entre eles, que é apenas o ponto x, deve ser um conjunto aberto. Isso implica que existe uma vizinhança ao redor de x que não contém outros pontos de F, ou seja, x é um ponto isolado.

Resposta

Assim, mostramos que x é um ponto isolado de F se e somente se é fechado.

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