Sejam fechado e . Mostre que é um ponto isolado de se, e somente se, é ainda fechado.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se é um conjunto fechado e contém o ponto , então é um ponto isolado de se e somente se o conjunto sem o ponto , ou seja, , continua sendo fechado. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser fechado, o que é um ponto isolado e como essas definições se relacionam.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é um conjunto fechado: em topologia, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação. Ou seja, se uma sequência de pontos em converge para um ponto, esse ponto também está em .

Passo 3

Agora, vamos definir o que é um ponto isolado. Um ponto em um conjunto é chamado de ponto isolado se existe uma vizinhança de que não contém nenhum outro ponto de além de . Isso significa que não é um ponto de acumulação de .

Passo 4

Vamos primeiramente assumir que é um ponto isolado de e mostrar que é fechado. Como é isolado, existe uma vizinhança ao redor de que não contém outros pontos de . Portanto, ao remover , não estamos deixando nenhum ponto de acumulação fora de , mantendo assim fechado.

Passo 5

Agora, vamos fazer o inverso: assumir que é fechado e mostrar que é um ponto isolado de . Como é fechado e também é fechado, a diferença entre eles, que é apenas o ponto , deve ser um conjunto aberto. Isso implica que existe uma vizinhança ao redor de que não contém outros pontos de , ou seja, é um ponto isolado.

Resposta

Assim, mostramos que é um ponto isolado de se e somente se é fechado.

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