In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que tá pedindo pra achar uma função que satisfaz a equação com as condições de fronteira e . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada, uma solução particular da equação completa e, por fim, ajustar os valores das constantes com as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau, vamos supor uma solução particular da forma:
Vamos derivar duas vezes:
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições de fronteira para encontrar e .
Primeira condição :
Então, .
Segunda condição :
Mas isso dá , o que é impossível. Isso significa que não existe solução que satisfaça ambas as condições de fronteira para essa equação diferencial.

Resposta

O problema não tem solução que satisfaça as condições de fronteira dadas.

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Sejam fechado e . Mostre que é um ponto isolado de se, e somente se, é ainda fechado.
In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.
Determine e .
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)