In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que tá pedindo pra achar uma função
que satisfaz a equação
com as condições de fronteira
e
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada, uma solução particular da equação completa e, por fim, ajustar os valores das constantes com as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau, vamos supor uma solução particular da forma:
Vamos derivar
duas vezes:
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições de fronteira para encontrar
e
.
Primeira condição
:
Então,
.
Segunda condição
:
Mas isso dá
, o que é impossível. Isso significa que não existe solução que satisfaça ambas as condições de fronteira para essa equação diferencial.
Resposta
O problema não tem solução que satisfaça as condições de fronteira dadas.
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Sejam
fechado e
. Mostre que
é um ponto isolado de
se, e somente se,
é ainda fechado.
In each of Problems 14 through 20, find the eigenvalues and eigenfunctions of the given boundary value problem. Assume that all eigenvalues are real.
Determine
e
.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)