Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
(d) y''(t) + 4y(t) = t cos(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da Variação dos Parâmetros (VOP). A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução complementar (solução da equação homogênea) com a solução particular (uma solução específica da equação completa).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A equação característica dessa equação homogênea é:
Resolvendo para :

Passo 3

Como as raízes são complexas, a solução complementar é dada por:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, mas como não temos essas condições, vamos deixá-las assim.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método da Variação dos Parâmetros. Primeiro, identificamos a forma da solução complementar :
As funções e são soluções da equação homogênea, então vamos supor que a solução particular seja:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 5

Para encontrar e , usamos as seguintes condições:
e
Essas equações vêm da derivação de e da substituição na equação original.

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Podemos escrever isso em forma matricial:

$$

$$
Calculamos o determinante da matriz:

Passo 7

Agora, encontramos e usando a regra de Cramer:

Passo 8

Integrando e para encontrar e :
Para :
Usando a identidade trigonométrica :
Usando integração por partes:
Seja , , então , .
Então:
Para :
Usando a identidade trigonométrica :
Integrando:

Passo 9

Agora substituímos e na expressão da solução particular:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando essa expressão (o que pode envolver mais passos de álgebra), chegamos à forma final da solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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