Determine a integração.
© integral 6 x^24+x^3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral:
integral 6x^24 + x^3 , dx
Esse exercício está relacionado ao conteúdo de integração, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Observamos que o denominador da fração é e sua derivada em relação a é . Note que no numerador temos , que é uma constante múltipla da derivada do denominador. Isso indica que podemos usar a substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = 4 + x^3 para simplificar a integral:
dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 , dx
Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Queremos expressar 6x^2 , dx = 2 , du em termos de . Multiplicando ambos os lados da equação anterior por 2, temos:

Passo 5

Substituindo integral 6x^24 + x^3 , dx = integral 2 , duu = 2 integral duu e na integral original, obtemos:

Passo 6

A integral de 2 integral duu = 2 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de . Portanto:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 2 ln|4 + x^3| + C de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral é igual a 2 ln|4 + x^3| + C mais a constante de integração. Portanto:

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