Determine a integração.
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Passo 1
Vamos resolver a integral:
Esse exercício está relacionado ao conteúdo de integração, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão.
Passo 2
Observamos que o denominador da fração é
e sua derivada em relação a
é
. Note que no numerador temos
, que é uma constante múltipla da derivada do denominador. Isso indica que podemos usar a substituição para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
para simplificar a integral:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Multiplicando ambos os lados da equação anterior por 2, temos:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, obtemos:
Passo 6
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
. Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Resposta
A integral é igual a
mais a constante de integração. Portanto: