Determine os intervalos em que as funções seguintes são estritamente crescente ou decrescente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou descendo. Isso está ligado ao estudo de funções exponenciais e ao uso de derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo em determinados pontos. Para a função
, aplicamos a regra da cadeia na derivação.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Aqui, derivamos o expoente
, que resulta em
, e multiplicamos pela função original.
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a derivada
é positiva ou negativa. Se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo. Como
é sempre positivo (pois a exponencial nunca é zero ou negativa), o sinal da derivada depende apenas de
.
Passo 5
Vamos resolver a inequação
para encontrar onde a função está crescendo:
E para onde está decrescendo:
Resposta
A função
é:
- Crescente para
- Decrescente para