Determine por integração direta o produto de inércia da superfície dada em relação aos eixos x e y. (1 Ponto)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular, usando integração direta, o produto de inércia de uma determinada superfície em relação aos eixos e . Para isso, vamos precisar saber a fórmula do produto de inércia e entender como configurar a integral para a superfície em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto de inércia. Ele é definido por:
Aqui, representa o produto de inércia em relação aos eixos e , é a área da superfície, e é um elemento de área infinitesimal.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a superfície para facilitar a integração. Vamos supor que a superfície seja um círculo de raio centrado na origem. Usar coordenadas polares será mais conveniente nesse caso.

Passo 4

Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área em coordenadas polares é dado por:

Passo 5

Substituindo essas expressões na fórmula do produto de inércia, temos:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular as integrais separadamente.
Primeira integral:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Pois a integral de uma função seno completa em seu período é zero.
Segunda integral:

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, temos:
Portanto, o produto de inércia da superfície em relação aos eixos e é zero.

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