Determine por integração direta o produto de inércia da superfície dada em relação aos eixos x e y. (1 Ponto)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular, usando integração direta, o produto de inércia de uma determinada superfície em relação aos eixos
e
. Para isso, vamos precisar saber a fórmula do produto de inércia e entender como configurar a integral para a superfície em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto de inércia. Ele é definido por:
Aqui,
representa o produto de inércia em relação aos eixos
e
,
é a área da superfície, e
é um elemento de área infinitesimal.
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a superfície
para facilitar a integração. Vamos supor que a superfície seja um círculo de raio
centrado na origem. Usar coordenadas polares será mais conveniente nesse caso.
Passo 4
Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Passo 5
Substituindo essas expressões na fórmula do produto de inércia, temos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular as integrais separadamente.
Primeira integral:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Pois a integral de uma função seno completa em seu período é zero.
Segunda integral:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais, temos:
Portanto, o produto de inércia
da superfície em relação aos eixos
e
é zero.
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