Determine por integração direta o produto de inércia da superfície dada em relação aos eixos x e y. (1 Ponto)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular, usando integração direta, o produto de inércia de uma determinada superfície em relação aos eixos e . Para isso, vamos precisar saber a fórmula do produto de inércia e entender como configurar a integral para a superfície em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto de inércia. Ele é definido por:
Ixy = integral duplaA x cdot y , dA
Aqui, representa o produto de inércia em relação aos eixos e , é a área da superfície, e é um elemento de área infinitesimal.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a superfície para facilitar a integração. Vamos supor que a superfície seja um círculo de raio centrado na origem. Usar coordenadas polares será mais conveniente nesse caso.

Passo 4

Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é dado por:

Passo 5

Substituindo essas expressões na fórmula do produto de inércia, temos:
Ixy = integral0^2pi integral0^R (r cos theta)(r sin theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
Ixy = integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta cdot integral0^R r^3 , dr

Passo 6

Vamos calcular as integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta
Usando a identidade trigonométrica 12 integral0^2pi sin(2theta) , dtheta = 0 , temos:
integral0^R r^3 , dr = R^44
Pois a integral de uma função seno completa em seu período é zero.
Segunda integral:

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, temos:
Ixy = 0 cdot R^44 = 0
Portanto, o produto de inércia da superfície em relação aos eixos e é zero.

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