Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente busca encontrar a função
que satisfaz essa igualdade. Para resolver, vamos precisar isolar
e
em lados diferentes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de separar as variáveis. Temos:
Podemos reorganizar para:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação:
A integral de
é
e a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar isso como:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la para
.
Passo 6
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Resposta
A solução da equação diferencial
é: