Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
(a) y'(t) - b y(t) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente busca encontrar a função que satisfaz essa igualdade. Para resolver, vamos precisar isolar e em lados diferentes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de separar as variáveis. Temos:
Podemos reorganizar para:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação:
A integral de é e a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar isso como:
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la para .

Passo 6

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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